Le théorème de Bernoulli est une approche énergétique de la dynamique des fluides.
Définition
\(\triangleright\) Définition du théorème de Bernouilli
Le long d'une canalisation, un Fluide parfait incompressible en Ecoulement laminaire, non turbulent, obéit au théorème de Bernoulli.
Cette loi correspond à une conservation d'énergie par unité de volume (\(J.m^{-3}\))
$$P+\frac 12\rho v^2+\rho g z=C_{onstant}$$
On retrouve ici:- \(P\): la pression du fluide
- Densité d'énergie cinétique d'un fluide
- Densité énergétique gravitationnelle d'un fluide
:
Démonstration du théorème de Bernoulli à partir du
Théorème d'Euler dans le cas d'un écoulement stationnaire et potentiel
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Dans le cas d'un fluide incompressible en
Ecoulement stationnaire et en
Ecoulement potentiel (non tourbillionnaire):
- \(\frac{\partial \vec v}{\partial t}=\vec 0\)
- \(\vec{rot}(\vec v)=\vec 0\)
On a donc: $$(\vec v.\vec \nabla)\vec v=\vec{grad}(\frac{v^2}{2})+\vec{rot}(\vec v)\wedge \vec v$$
2
L'équation d'Euler devient:
$$\rho.\vec{grad}(\frac{v^2}{2})=\rho.\vec g-\vec{grad}(P)$$
Or $$\rho.\vec g=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -\rho g\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial \rho g z}{\partial x}\\ \frac{\partial \rho g z}{\partial y}\\ \frac{\partial \rho g z}{\partial z}\end{pmatrix}$$
$$=-\vec{grad}(\rho g z)$$
3
Finalement, l'équation d'Euler devient:
$$\vec{grad}(P+\frac 12 \rho v^2+\rho g z)=\vec 0$$
$$P+\frac 12\rho v^2+\rho g z=Constante$$
:
Démonstration du théorème de Bernoulli pour un écoulment stationnaire et rotationnel
1
Equation d'Euler devient:
$$\rho(\vec{grad}(\frac{v^2}{2})+\vec{rot}(\vec v)\wedge \vec v)=-\vec{grad}(\rho gz)-\vec{grad}(P)$$
2
On calcule la circulation élémentaire le long d'une
Lignes de courant
$$\left[\rho(\vec{grad}(\frac{v^2}{2})+\vec{rot}(\vec v)\wedge \vec v)=-\vec{grad}(\rho gz)-\vec{grad}(P)\right].\vec {dl}$$
$$d\left[P+\rho g z+\frac 12\rho v^2\right]=0$$
3
Alors, le long d'une ligne de courant:
$$P+\rho g z+\frac 12\rho v^2= Constante$$
Notions liées
Charge d'un fluide